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Sistema Diédrico                       

 

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Ejercicios y Exámenes propuestos en la Escuela de Ingeniería CIVIL de Madrid

 

CAPITULO 1. Sistema Diédrico: definición. Diedro de Monge.  Planos bisectores. Abatimiento de los planos de proyección. Plano de  perfil. Representación del punto. Posiciones del punto.

Representación de la recta. Trazas de la recta. Posiciones de  la recta. Intersección de la recta con los planos bisectores. Rectas  que se cortan, rectas paralelas y rectas que se cruzan.

Representación del plano. Trazas del plano. Posiciones del  plano. Determinación de las trazas. Plano definido por tres puntos y  por un punto y una recta. Rectas y puntos contenidos en el plano.  Plano que pasa por una recta.

 

CAPITULO 2. Intersecciones. Intersección de dos planos. Diversos casos de intersección de planos. Intersección de tres planos. Intersección de recta y plano. Casos particulares. Teoría de sombras.

 

CAPITULO 3. Paralelismo. Rectas y planos paralelos. Recta paralela a un plano. Problemas sobre paralelismo.

Recta que pasa por un punto y se apoya en otras dos. Recta paralela a una dirección que se apoya en otras dos. Recta que pasa por un punto, paralela a un plano y que se apoya en otra recta.

 

Perpendicularidad. Recta perpendicular a un plano. Plano perpendicular a una recta. Rectas perpendiculares. Planos perpendiculares. Problemas sobre perpendicularidad.

 

Verdaderas magnitudes. Distancias. Distancia entre dos puntos. Medida de distancias sobre una recta. Distancia de un punto a un plano. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas paralelas. Distancia entre dos planos paralelos. Distancia entre dos rectas que se cruzan.

 

CAPITULO 4. Abatimientos. Abatimiento de un plano. Casos particulares. Abatimiento de planos alrededor de horizontales y frontales. Abatimiento de un punto, una recta y una figura contenidos en el plano. Homología afín entre la proyección de una figure plana y la figura abatida. Homología afín entre las proyecciones horizontal y vertical de una figura plana. Proyecciones de la circunferencia. Problemas sobre abatimientos y verdaderas magnitudes.

Verdadera magnitud de un cuadrado a partir de una de sus proyecciones.

 

    

CAPITULO 5. Cambios de plano. Nuevas proyecciones del punto, la recta y el plano. Transformación de una recta cualquiera en horizontal, frontal, vertical, de punta y paralela a la línea de tierra. Transformación de un plano cualquiera en horizontal, frontal, de canto y vertical. Aplicación a los problemas de distancias.

 

CAPITULO 6. Giros. Eje de giro. Giro de puntos, rectas y planos. Transformación de una recta cualquiera en vertical o de punta. Transformación de un plano cualquiera en un plano de canto o vertical. Aplicación a los problemas de distancias.  Giros alrededor de una recta cualquiera.

 

CAPITULO 7. Ángulos. Angulo de dos rectas. Bisectriz. Angulo de recta y plano. Angulo de una recta con los planos de proyección. Recta que forma ángulos dados con los planos de proyección.

 Angulo de dos planos. Plano bisector. Ángulos de un plano con los planos de proyección. Plano que forma ángulos dados con los de proyección. Plano que pasa por una recta y forma un ángulo dado con otro plano.

 

CAPITULO 8. Poliedros. Definición, clasificación y propiedades. Poliedros regulares convexos. Tetraedro. Relaciones métricas entre sus elementos. Secciones principales. Representación en posiciones básicas. Id. en cualquier posición. Secciones planas.

Hexaedro o cubo. Ídem.

 Secciones planas más características.. Construcción a partir de las direcciones de las proyecciones de as tres aristas. Id. a partir de la medida de las proyecciones de las tres aristas.

Octaedro. Sección principal. Secciones planas más características. Posiciones del octaedro.

 

 


 

ENUNCIADOS de PROBLEMAS

 

1. Diédrico. (Práctica 95-96). Papel A4 vertical dividido en dos mitades. Cotas en cm.

Mitad superior: Origen y línea de tierra centrados. Un plano a está definido por el punto A(‑1,1,2) y la  recta BC, B(0,4,0) y C(1,5;0;5).

Hallar:

1°. Las trazas del plano.

2°. Proyecciones de la línea de máxima pendiente que pasa por A.

3°. Proyecciones de línea de máxima inclinación que pasa por A.

4º. Trazas de las rectas anteriores.

 

Mitad inferior: Origen y línea de tierra centrados. Dada la recta AB, A(‑3,4,‑1) B(2,1,4), hallar:

1° Las trazas de la recta.

2° Trazas del plano que contiene a AB y es paralelo a la línea de tierra.

3° Horizontal del plano hallado que tenga de cota 3.

4° Frontal del plano hallado que tenga de alejamiento 3.

 

2. Diédrico. (Práctica 95-96). Papel A4 vertical. Origen centrado en el recuadro. Cotas en mm.

Un pentágono con un vértice A(0,0,0) tiene como proyección horizontal un pentágono regular de 40  mm de lado, con la altura que pasa por A, perpendicular a la línea de tierra y situado en el horizontal anterior.

Conociendo las cotas de los dos vértices contiguos al A, cota de B, 36 y cota de E, 11, (B a la derecha de A),

Se pide:

1°. Completar la proyección vertical del pentágono.

2°. Trazas del plano a que lo contiene.

3°. Comprobación de que el punto B pertenece al plano a.

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3.Diédrico. (Práctica 95-96). Papel A4 vertical. Origen centrado. Escala 1:100.

El mástil de un pararrayos mide 8 m de altura, está apoyado en el suelo de una terraza en el punto S(0,7,0)  y sujeto por tres "vientos" o tirantes repartidos a 120°.

Sabiendo que los puntos de sujección están a 2, 4 y 6 m de altura y que sus tirantes forman 45° con el suelo, se pide:

Determinar sobre el suelo de la terraza el triángulo de los puntos de anclaje y dibujar en planta y  alzado el conjunto del pararrayos con sus vientos.

Nota: El tirante más largo se situará frontal y a la izquierda.

 

4. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel UNE A4 apaisado, dividido en dos mitades: izquierda y derecha. Coordenadas en cm.

Mitad izquierda: (origen y línea de tierra, centrados). Se dan los puntos A(0,4,4), B(0,‑3,‑1), C(0,‑2,5) y D(0,3,‑2). Se considera el punto M de intersección de las rectas AB y CD. Se pide:

Determinar un punto Q, sobre el plano horizontal anterior y otro punto P, sobre el vértice  superior, situado en el mismo plano que los anteriores y tales que sus distancias a M sean de 5 cm.

 

Mitad derecha (Origen y línea de tierra, centrados).

Por los puntos M(1,2,3) y N(‑1,2,2) se trazan sendas rectas r y s, de perfil, que forman con el plano horizontal anterior ángulos de 60º y 45º, respectivamente. Trazar por M una recta horizontal h que se apoye en la recta s, y por N una recta frontal f que se apoye en r. Determinar las trazas de las cuatro rectas.

 

Ejercicios propuestos en la E.U.I.T. de Obras Públicas

             

5. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel UNE A4 vertical. Línea de tierra y origen centrados. Coordenadas en cm.

La recta r está definida por los puntos (0,2,4) y (3,6,7) y la recta s por los puntos (0,4,4) y (3,0,1).

Se considera una recta que se apoya sucesivamente en ellas, moviéndose paralelamente al plano horizontal,.

Determinar la curva que se obtiene en el plano vertical como intersección con él de la recta horizontal móvil en las sucesivas posiciones que ocupa.

 

6. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel UNE A4 vertical. Origen y línea de tierra centrados.

En el plano horizontal anterior se dibuja un hexágono regular de 4 cm de lado, con dos de ellos paralelos a la línea de tierra, y cuyo centro es el punto (0,5,0). El punto V(4,‑4,7) se une con cada vértice del hexágono y se pide determinar las intersecciones de estas rectas con el plano vertical y dibujar el polígono que definen.

 


7. Diédrico. (Práctica 96-97). Papel A4 vertical. Origen centrado. Cotas en cm.

Se dan los siguientes planos:

a, paralelo a LT y pasando por la recta AB, A(0,3,0), B(0,0,5).

b, definido por LT y el punto C(0,4,3).

p, (‑5,5,4).

Se pide hallar:

1°. Trazas de los planos a y b.

2°. Recta intersección de a y b (i).

3°. Recta intersección de a y p. (s).

4°. Recta intersección de b y p. (t).

5°. Punto común a a, b y p. (O).

6°. Partes vistas y ocultas de t con respecto a  a.

7º. Partes vistas y ocultas de s con respecto a b.

8°. Partes vistas y ocultas de i con respecto a p.

 

 

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